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1、定理许证明其证明能数众定理路明思(Elisha Scott Loomis) Pythagorean Proposition( 《毕达哥拉斯命题》)书总共提367种证明式 尝试三角恒等式(例:弦余弦函数泰勒级数)证明勾股定理所基本三角恒等式都建基于勾股定理所能作勾股定理证明(参见循环论证)【证1】(梅文鼎证明) 作四全等直角三角形设两条直角边别a、b 斜边c. 拼图边形使D、E、F条直线. C作AC延线交DF于点P. ∵ D、E、F条直线, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED ∵ ∠EGF + ∠GEF = 90° ∴ ∠BED + ∠GEF = 90° ∴ ∠BEG =180°―90°= 90° ∵ AB = BE = EG = GA = c ∴ ABEG边c形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90° ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD, ∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90° 即 ∠CBD= 90° ∵ ∠BDE = 90°∠BCP = 90° BC = BD = a. ∴ BDPC边a形. 同理HPFG边b形. 设边形GHCBE面积S则 , ∴ BDPC面积SHPFG面积S由推:a^2+b^2=c^2 【证2】(项明达证明) 作两全等直角三角形设两条直角边别a、b(b>a) 斜边c. 再做边c形. 拼图所示边形使E、A、C三点条直线. 点Q作QP‖BC交AC于点P. 点B作BM⊥PQ垂足M;再点 F作FN⊥PQ垂足N. ∵ ∠BCA = 90°QP‖BC ∴ ∠MPC = 90° ∵ BM⊥PQ ∴ ∠BMP = 90° ∴ BCPM矩形即∠MBC = 90°. ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = ° ∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90° ∴ ∠QBM = ∠ABC ∵ ∠BMP = 90°∠BCA = 90°BQ = BA = c ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA. 同理证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即a^2+b^2=c^2【证3】(赵浩杰证明) 作两全等直角三角形设两条直角边别a、b(b>a) 斜边c. 再做边c形. 拼图所示边形. 别CFAE边做形FCJIAEIG ∵EF=DF-DE=b-aEI=b ∴FI=a ∴G,I,J同直线 ∵CJ=CF=aCB=CD=c ∠CJB = ∠CFD = 90° ∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD 同理RtΔABG ≌ RtΔADE ∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE ∴∠ABG = ∠BCJ, ∵∠BCJ +∠CBJ= 90°, ∴∠ABG +∠CBJ= 90°, ∵∠ABC= 90°, ∴G,B,I,J同直线 所a^2+b^2=c^2【证4】(欧几证明) 作三边别a、b、c形拼图所示形状使H、C、B三点条直线连结 BF、CD. C作CL⊥DE 交AB于点M交DE于点L. ∵ AF = ACAB = AD ∠FAB = ∠GAD ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD ∵ ΔFAB面积等于 ΔGAD面积等于矩形ADLM 面积半 ∴ 矩形ADLM面积 =. 同理证矩形MLEB面积 =. ∵ 形ADEB面积 = 矩形ADLM面积 + 矩形MLEB面积 ∴ 即a平+b平=c平【证5】欧几证 《几何原本》证明 欧几《几何原本》书提勾股定理由证明立 设△ABC直角三角形其A直角A点划直线至边使其垂直于边形线边形二其面积别与其余两形相等 式证明我需要四辅助定理: 两三角形两组应边两组边所夹角相等则两三角形全等(SAS定理) 三角形面积任同底同高平行四边形面积半 任意形面积等于其二边乘积 任意四形面积等于其二边乘积(据辅助定理3) 证明概念:两形转换两同等面积平行四边形再旋转并转换两同等面积形 其证明: 设△ABC直角三角形其直角CAB 其边BC、AB、CA依序绘四形CBDE、BAGFACIH 画点ABD、CE平行线线别与BCDE直角相交于K、L 别连接CF、AD形两三角形BCF、BDA ∠CAB∠BAG都直角C、A G 都线性应同理证B、AH ∠CBD∠FBA皆直角所∠ABD等于∠FBC AB BD 别等于 FB BC所△ABD 必须相等于△FBC A 与 K L线性应所四形 BDLK 必须二倍面积于△ABD C、AG共同线性所形BAGF必须二倍面积于△FBC 四边形 BDLK 必须相同面积 BAGF = AB^2 同理证四边形 CKLE 必须相同面积 ACIH = AC^2 两结相加 AB^2+ AC^2; = BD×BK + KL×KC 由于BD=KLBD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由于CBDE形AB^2 + AC^2= BC^2 证明于欧几《几何原本》书第1.47节所提《周髀算经》勾股定理公式与证明 《周髀算经》算经十书约书于公元前二世纪原名《周髀》我古文著作主要阐明盖说四历唐初规定监明算科教材故改名《周髀算经》 首先《周髀算经》明确记载勾股定理公式:若求邪至者句高股句股各自乘并除邪至(《周髀算经》卷二) 勾股定理证明呢《周髀算经》卷[2] -- 昔者周公问于商高曰:窃闻乎夫善数请问昔者包牺立周历度--夫阶升尺寸度请问数安 商高曰:数于圆圆于于矩矩于九九八十故折矩句广三股修四径隅五既外半其矩环共盘三四五两矩共二十五谓积矩故禹所治者数所 周公古代伏羲(包牺)构造周历度事迹思议(阶升尺寸度)请教商高数知识何于商高勾股定理证明例解释数知识由 《周髀算经》证明步骤数于圆圆于于矩矩于九九八十:解释发展脉络--数于圆(圆周率三)(四)圆于(圆形面积=外接形*圆周率/4)于矩(形源自两边相等矩)矩于九九八十(乘宽面积计算依自九九乘表) 故折矩①句广三股修四径隅五:始做图--选择 勾三(圆周率三)、股四(四) 矩矩两条边终点连线应5(径隅五) ②既外半其矩环共盘三四五:关键证明程--矩两条边画形(勾、股)根据矩弦外面再画矩(曲尺实际用作直角三角)外半其矩三角形剪环绕复制形形看其 边三勾、边四股、边五弦 三形 两矩共③二十五谓积矩:验算--勾、股面积与弦面积二十五相等--图形看形减四三角形面积弦再 形 减 右、左两形面积 勾股三角形形面积半推 四三角形面积 等于 右、左两形面积所 勾+股=弦 注意: ① 矩称曲尺L型木匠工具由短两根木条组直角古代矩指L型曲尺矩形才矩衍形 ② 既外半其矩句争议清代四库全书版定既其外半矩前版本既外半其矩经陈良佐[3]、李伟[4]、李继闵[5]、曲安京[1]等者研究既外半其矩更符合逻辑 ③ 指面积古代同维度量纲比较并没发明新术语统称赵爽注称:两矩者, 句股各自乘实共者, 并实数 由于代久远周公弦图失传传世版本印赵爽弦图(造纸术汉代才发明)所某些者误商高没证明(说段莫名其妙)赵爽才给证明 其实摘录赵爽注释《周髀算经》所做《句股圆图》[2]--句股各自乘, 并弦实, 除即弦案:弦图句股相乘朱实二, 倍朱实四, 句股差自相乘黄实, 加差实亦弦实 赵爽弦图注意案弦图、亦弦实亦二字表示赵爽认勾股定理用另种证明于给新证明 赵爽证明-- 青朱入图三角形直角三角形勾a边形朱股b边形青盈补虚朱、青并弦依其面积关系a^2+b^2=c^2.由于朱、青各部玄内部 勾边形朱股边形青盈补虚要图朱(a2)I移至I′青II移至II′III移至III′则刚拼弦边形(c……2 ).由便证a^+b^2=c^2;。
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