托勒密天文学家（托勒密）

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1、定理：若ABCD四点共圆（ABCD按顺序都在同一个圆上），那么***.cd+BC.AD=***.bd。

2、例题：（我讲道好玩的吧：）证明对于任意正整数n都存在n个点使得所有点间两两距离为整数。

3、解答：归纳法。

4、我们用归纳法证明一个更强的定理：对于任意n都存在n个点使得所有点间两两距离为整数，且这n个点共圆，并且有两点是一条直径的两端。

5、n=1，n=2很轻松。

6、当n=3时，一个边长为整数的勾股三角形即可：比如说边长为3，4，5的三角形。

7、我们发现这样的三个点共圆，边长最长的边是一条直径。

8、假设对于n大于等于3成立，我们来证明n+1。

9、假设直径为r（整数）。

10、找一个不跟已存在的以这个直径为斜边的三角形相似的一个整数勾股三角形ABC（边长a

11、把原来的圆扩大到原来的c倍，并把一个边长为ra

12、这个三角形在圆上面对应了第n+1个点，记为P。

13、于是根据Ptolomy定理，P和已存在的所有点的距离都是一个有理数。

14、（考虑P，这个点Q和直径两端的四个点，这四点共圆，于是PQ是一个有理数因为Ptolomy定理里的其它数都是整数。

15、）引入一个新的点P增加了n个新的有理数距离，记这n个有理数的最大公分母为M。

16、最后只需要把这个新的图扩大到原来的M倍即可。

17、归纳法成立，故有这个命题。

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